10道烧脑到可能会让你抓狂的ldquo

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这是一个发生在洛杉矶的真实案件。联邦调查局特工丹·艾普斯看了一眼平摊在桌子上的一张很大的洛杉矶街区图。地图上墨水打的叉号标记了犯罪地点，在过去的几个月内，一个残忍的连环杀手袭击、杀害了数名年轻的女性。丹的任务就是在这名杀手再次作案前抓住他。

但是丹毫无进展。没有线索，也不知道下一步该做什么。

“要帮忙吗？”，这是丹的弟弟查理，他是加州理工学院的一名杰出年轻教授，丹一直对他弟弟不可思议的数学才能佩服得五体投地，但是......联邦调查局能从一个数学家那里得到帮助？

“此案与数学无关，查理。”丹语气尖锐。

“任何事情都有关数字。”查理走到窗边，凝视着花园，只有浇灌草坪的自动喷水龙头不断发出扑哧-扑哧的声音，打破了傍晚的宁静。他想，如果叉号的排列具有某种规律性，那么可以用一个数学方程来描绘这个模式，就像方程x2+y2=9描述的就是一个圆。

“灵感随时都会到来，特别是是在一个人全情投入地为一个问题而努力，然后把注意力放到别的活动上的时候。”

扑哧-扑哧-扑哧-扑哧。查理注意到了这个水龙头，突然他知道该怎么做了！

你不能预言任何一个水滴将落在何处，但是如果知道所有水滴的分布模式，你就可以追溯到喷水龙头的位置。

第一步，确定连环杀手的行为是怎样的？

暴力连环案的地点挑选上会出现某种倾向性，倾向于在靠近他们住所的地方实施犯罪，但不会挨得太近，他们会环绕他们的居住所在地设立一个“缓冲区”，在此区域内不实施犯罪，而在舒适区外，犯罪点出现的频率是随着离住所距离的增加而减少。

第二步，他回到加州理工学院数学系的办公室，开始在黑板上布满方程和公式：找到数学的钥匙，确定一个“热区”，由作案地点反推出来，是罪犯最有可能居住的地区。时光飞速流逝，他最终写下了这个公式：

第三步，对公式进行微调。由丹提供以前的连环犯罪案件来验证这个公式。当他输入以前案件的犯罪地点，这个公式正确的预言了罪犯的住处！

最后，正如把x2+y2输入电脑得到一个圆一样，这个公式输入电脑，计算机也会产生一个图形，这些区域，正是凶手居住其中的热区！数学公式解释了真相：以很高的概率确定了罪犯居住的热区。

短短几天后，案件破了，丹告诉他的弟弟：“查理，这要归功于你得到的公式。”

在瞬息万变高速发展的社会中，善亦进化，恶亦进化。数学推理有时是这样一种力量，成为我们手中更精密的武器，对抗更复杂的恶。而正如阿基米德洗澡洗到一半发现了浮力定律，欢呼而出，利用数学推理破获案件，通常需要复杂心智下一闪而过的“灵感"。

你有没有这样的推理灵感？

与智者为伍便能自证智者。在一个数学爱好者论坛上，置顶热帖是一位网友甩出的10道数学推理题，他大放厥词：“目前能解他们的初中生还没有出生！”，后来这10道题被网友扒出竟是由美国数学科普第一人马丁·加德纳编写！无数数学家为之痴迷。今天就和中考君一起来挑战一下！

1

这道怪题是根据一位法国天文学家最近作出的断言而构思的，这位天文学家发现了一颗新的一等星。他宣称，在科学家中流行的那种认为不会再有这类一等星的观念，完全是基于一位聪明的小趣题家的发现：组成“astronomers”（天文学家们）一词的各个字母，恰好能重新排列成“nomorestars”(不会再有星星）。我们可以说，用这同样的11个字母还能排列出更妙的词儿。

上图表示这位博学的教授在向他的天文学家同行们描述他的新发现。他画出了15颗不同星等的星星的位置，现在正要指出他所发现的那颗新星在天空中的位置。

你能不能在这图中画出一颗五角星，它至少要像图中已有的其他星星那般大，而且又不碰到那些星星？

2

“多伊乐”是外太空的超空间人口不可或缺的重要物资。大小像一粒豌豆，重量正好是1克。舒尔和沃茨是冥王星基地的行政官，负责把多伊乐配送到更远的前哨站去。

多伊乐是罐装的，每粒装在一个罐子里，6罐一起运送。冥王星基地有个很准确的弹簧秤，可以分辨出几分之一毫克的差别来。

某天，在收到一批多伊乐之后大约一星期，日本的制造厂发出一则无线电信来：“紧急情况！有一罐多伊乐的品质有问题，里面的每一粒都超重1毫克。请立刻找出那一罐来，把里面的多伊乐全部销毁！”

沃茨说：“看来我们必须从每一罐拿出一粒多伊乐来称量，要称重6次才行。”

舒尔回答：“不见得，老兄！我们只要称一次重量，就可以知道哪一罐出了问题。首先，我们从1到6，把每一罐编号。然后从第1罐里拿出一粒多伊乐，第2罐取2粒，第3罐取3粒……，总共拿出21粒来。我们同时称量这21粒，它的重量会比21克重n毫克，这个n字就是出了问题的那一罐多伊乐。”

沃茨由衷地赞叹：“真是个妙法子！”舒尔只是耸耸肩。

一个月之后，他们又收到一批货。不久之后，又传来一个坏消息：“这次品质更差，每一罐里的多伊乐都可能出错，甚至可能6罐全部有问题。每粒出问题的多伊乐都超重1毫克。请立刻找出来，全数销毁！”

沃茨说：“这次看来我们必须从每一罐中，各取出1粒多伊乐来量一量了。”

舒尔把十指交错在一起，凝视了挂在墙上的阿西莫夫的相片一会儿，缓缓说道：“不必，老兄。我认为还是只需要称量一次就行了。”

舒尔想到了什么好方法?

3

骰子赌局在集市上和狂欢节上很流行，然而，对于参赌者的取胜机会到底是多少，几乎没有两个人能有一致的意见，因此我把它作为概率论中的一个基本问题提出来。

赌桌上画着分别标有1、2、3、4、5、6的六个方格，请参赌者把钱押在任意一个方格里作为赌注，钱多钱少随意。然后掷三个骰子。如果只有一个骰子掷出来是你所押方格的数字，你拿回你的赌注并赢得同样数量的钱。如果有两个骰子是你所押的数字，你拿回你的赌注并赢得两倍于赌注的钱。如果三个骰子都是你所押的数字，你拿回赌注并赢得三倍于赌注的钱。当然，如果每个骰子都不是你所押的数字，赌注就被庄家拿走。

举例来说，假设你在6号方格里押上1美元。如果有一个骰子掷出来是6，你拿回你的1美元并另外得到1美元。如果有两个骰子是6，你拿回你的1美元并另外得到2美元。如果三个骰子都是6，你拿回你的1美元并另外得到3美元。

参赌者可能会想：我所押的数字被一个骰子掷出来的机会是1/6，然而因为有三个骰子，机会就一定是3/6即1/2，所以这个赌局是公平的。当然，设这个赌局的庄家希望每个参赌者都这样想，因为这种想法是似是而非的。

这个赌局是对庄家有利还是对参赌者有利?如果是对某一方有利的话，有利多少?

4

麻绳或称吕宋绳，菲律宾群岛最重要的特产，在很大程度上被中国的出口商控制着。他们用船把这些产品运往世界各地。一些商人和小商贩则是日本人，他们做生意有他们自己独特的方式。但由于没有一种确定的货币，也没有固定的价格，结果几乎每一笔买卖都要引起一场争吵。

下页的插图表现了做买卖的这种简陋的方式。不知当地话怎么说，我们将这样叙述。一个水手走进了一家绳子商店问道：“你能告诉我像样的卖好绳子的商店哪儿有？”

店主忍着这种含蓄的侮辱，说道：“我这里只卖最好的绳子，恐怕我这里最差的绳子也比你想要的还好。”

“把你这里最好的绳子拿给我看。我可能会采用，一直到我找到更好的为止。这缆绳你要多少钱?”

“这一捆7块钱，有英尺长。”

“太长了，也太贵了。好的绳子我最多才出1块钱，而这太糟了。”

“这是标准的绳子，”店主回答，并把证明长度和质量的完整封印给他看。“如果你钱不够，你要多少买多少，按1英尺2分钱算。”

“剪下20英尺。”水手说着，炫耀地拿出一枚5元的金币，显示他买得起。店主量出了20英尺，他的动作很夸张，让人放心尺寸是足够的。但是，水手注意到，他那把应该1码长的尺正好短了3英寸，在33英寸的刻度处折断了。所以当绳子剪断以后他不动声色地指着长的一段说：“我买80英尺的这一段。你不必送，我自己搬。”然后他扔下一枚5元的假金币，店主找不出零钱，拿到隔壁去兑开。水手一拿到找的钱，马上就拿着绳子走了。

这个趣题是要说出店主损失了多少钱，假定他又被邻居叫去要求把那枚假的5元金币换成真的，绳子也确实值1英尺2分钱。

5

史密斯在述说他在廉价市场的一次经历时谈到,他仅仅在30分钟内就花掉了一半的钱，这样，他剩下的钱的零头同他开始时钱的整数部分在数值上一样大，而剩下的整数部分同开始时的零头的一半在数值上一样大。那么，他花了多少钱?

6

大约在年，日内瓦遗传工程研究所的克隆尼费克博士终于创造出一种单细胞的海洋生物，刚好大到可以在显微镜下观察，形状有点像甜甜圈的环面（torus）。环面这个名词是拓扑学家所用的，在拓扑学里，具有甜甜圈表面特性的东西就称环面。这种生物于是被命名为“克隆尼费克环面菌”，一般都称它为圈圈菌。

圈圈菌的繁殖方式是这样的：首先由母体的表面长出一个小芽，小芽很快长大成为一个可以伸缩的圈圈，接着新生的小圈圈就利用密生在表面的细细鞭毛脱离母体而游开。

成长中的圈圈菌通常不会和母体连接在一起，但有时候它的生长方式会使自己和母亲或同胞的兄弟姐妹永远连接在一起。有时候，三个圈圈菌会以很奇怪的方式连接在一起，就像下图那样。

仔细研究图形以后，你会发现三个圈圈菌虽然连在一起，但没有任何两个圈圈菌是连接在一起的。如果其中一个圈圈菌被较大型的生物吃掉，其他两个圈圈菌立刻就解开了。

克隆尼费克博士的助理想知道圈圈菌到底有几种不同的连接方式。她用一个巨型放大镜连续观察了好几个月。有一天早晨，忽然听见她兴奋得大叫起来：“真不敢相信！有一群圈圈菌紧密的连接在一起，约有50来个。它们看起来像条圆形的项链。没有一个圈圈菌可以跑掉。但如果其中任何一个被吃掉，所有的圈圈菌就全部散开了。”

克隆尼费克也不相信有这种连环。等他亲眼看了之后才相信。你能明白这些圈圈菌是怎么连接在一起的吗？

7

你能找出图片中一颗标准的五角星吗？

8

下图中的大正方形表示一块块金砖，是这位农民刚从那个戴大礼帽的陌生人那里买的。它的各条边都被平均分成24段。

如果这个正方形的边长是24英寸，那么它就有24×24即平方英寸的面积。从一个角到另一个角画一条对角线。沿着这条线把正方形切开，然后把上边那块沿着斜面向上移动一格。这时如果我们把右边突出的小三角形A剪下，就可以把它补到左上角用B标出的三角形空白处。

现在我们拼成了一个长方形，它宽23英寸，高25英寸。然而23乘以25只有平方英寸！那失踪的1平方英寸哪儿去了?

据说欧几里得写的最后一卷著作完全讨论像这样的几何谬误——巧妙地暗藏有隐蔽错误的一些问题和趣题。不幸的是这卷著作失传了，不过它一定是这位作者的最重要的著作之一。

9

丁克教授是斯坦福大学人工智能实验室的负责人，22世纪顶尖的机器人设计师。一天下午，他带了三个美眉机器人到教室去，给学生做随堂测验。三个机器人都是年轻、身材美妙的裸体女性，在外观上完全一样，无法区别。他让三个美眉机器人在教室前面坐一排。

丁克教授说：“这三个美眉的程序设计是这样的：一个永远说实话，一个永远说谎话，另一个则不一定，有时说实话、有时说谎话，由内部的随机产生器来决定。你们的问题是：需要问多少个问题，你才能决定哪个是诚实美眉、哪个是骗子美眉、哪个是不一定美眉。”

教室里第二聪明的学生布达拉，问了下面三个

问题：

1.布达拉先问左边的美眉：“谁坐在你旁边？”机器人回答：“诚实美眉。”

2.布达拉再问中间的美眉：“你是谁？”机器人回答：“不一定美眉。”

3.布达拉最后问右边的美眉：“坐在你旁边的是谁?”

机器人回答：“骗子美眉。”

由这三个答案，聪明的学生马上知道谁是谁了，为什么？

10

贝格森是24世纪世界著名的古代数学游戏专家。当法国考古队在曾经是美国新泽西的地方挖到一块古代棋盘时，他非常高兴。这是一种未知的21世纪游戏。21世纪中的一场世界大战，把整个北美洲摧毁殆尽，没想到这块文物还能留传下来。

贝格森从来没见过这种棋盘，绞尽脑汁也推敲不出这种游戏的规则。不过还是有个办法能揭开谜底。贝格森是魏茨曼研究所的数学家。这个位于以色列的研究所拥有一架时光机,可以让人回到过去,观察以前发生的事件。不过机器和机器里的人都不能干扰所观察的事件。由早期科幻小说的充分探索，我们已经充分了解这种对过去事件的干预,违反了因果律,根本是不可能的。

依据精确的夸克定年法，知道这块棋盘是年制造的。魏茨曼研究所批准了贝格森的申请，把他连人带机器都送回当年的纽泽西。

贝格森进入时光机,调了一些设定值,不久之后就发现自己正在观看一个男孩和女孩下棋。他们当然不

知道贝格森的存在。在看过数十盘棋赛之后，贝格森已经把游戏规则弄清楚了（棋盘见下面的图）：

1.游戏由放在x点上的红棋开始，另外一枚蓝棋放在y点上。玩家选好棋子的颜色之后，依序沿着锯齿形的路线前进。

2.每一次，玩家可以走1步、2步或3步，但只能依照格子的顺序前进，不能跳格。

3.当两枚棋子相遇时，没有人能再前进，游戏就结束了。这时候，看谁的棋子在圆圈里，谁就赢。

贝格森立刻发觉，以数学家来看，这是一种所谓的“偷鸡”(nimlike）游戏。它不会打成平手，因为两枚棋子遭遇的时候，一定有一枚在圆圈内，一枚在圆圈外。对于知道怎么玩的人来说，不管他是不是先手，都有办

法赢。

哪个棋手稳赢呢?先手或后手？他该怎么下才稳赢？

10道题目你做出了几道?是不是苦于没有推理灵感？

事实上，数学家的推理灵感也不是一蹴而就的，往往经历三个阶段：数学家灵感来源

首先是一段非常漫长的“理解”问题的时间，你往往需要尝试各种方法，构造很多的特例，希望从特例中获得灵感。这个阶段往往非常无助而痛苦，有时候特别漫长。

然后，你应该转移自己的注意力，在花园里面除草或者干脆暂时想别的问题。原理是把自己“意识”的工作转交给“潜意识”。前提是你已经充分的沉浸于那个问题，并且深深为之吸引。只有这样，你的潜意识才会